关于悖论的思考

亦作吊诡或诡局(在有些场合“佯谬”是悖论的别名)，是指一种导致矛盾的命题。悖论的英文paradox一词，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的;如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

古希腊四大悖论

1.两分法悖论

因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。

这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置(或者说物体初始运动所经过的距离近似0)，以至这物体的运动几乎不能开始。因此，我们得出了运动不可能开始的结论。

悖论的解释

其实此悖论的解释如下：

此悖论在设立时有意忽略了一个事实：那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真!但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢?一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。

此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。

2.阿奇里斯悖论

动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

—亚里士多德,物理学VI:9,239b15

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑'数学派'所代表的毕达哥拉斯的'1>0.999...,1-0.999...>0'思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的'1=0.999...,但1-0.999...>0'思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的'1-0.999...=0,或1-0.999...>0'思想。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。

为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰.我们的实数，极限，微积分都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近.

3.飞矢不动悖论

一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的**，所以可导出一根箭是不可能移动的。中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

悖论提出过程

芝诺问他的学生“一支射出的箭是动的还是不动的?”

“那还用说，当然是动的。”

“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗?”

“有的，老师。”

“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗?”

“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”

“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的?”

“不动的，老师”

“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢?”

“也是不动的，老师”

“所以，射出去的箭是不动的?”

4、游行队伍悖论

钱包悖论

钱包悖论，又称钱包游戏，是概率论中的一个悖论。

内容

A和B两人进行一场赌博。

赌法是：由第三者计算A、B二君钱包里面的钱，钱少者可以赢走钱多者的钱。

A对于这场赌博的想法为：若B君的钱比我少，我可能输掉我现有的钱。但若B君的钱比我多，我赢了，就会得到多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多，所以这场赌博对我有利。

而B的想法也是如此。

二人想法的逻辑都正确，但若认为二人的想法都正确，又将做出这场赌博对A、B二人都有利的错误结论。这显然是一个悖论。

来源

钱包悖论源自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中赌的是领带而非钱.

“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少。我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢?”

谎言者悖论

谎言者悖论最常见的例子是“我在说谎”这个句子。因若我所说是真(“我在说谎”)，那我就不是在说谎;但若我所说是假(“我不在说谎”)，那么我就是在说谎了。所以无论这句子是真或不真，情况都不可能成立。

起源

西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides)说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”

严格来说埃庇米尼得斯这句话并不能算是悖论，因为这句话一定是错的。如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾;假设此言为假，那么也就是说有部分克利特人是不说谎的，则表示埃庇米尼得斯说谎，仍符合假设(即埃庇米尼得斯属于克利特岛的人中说谎的部分)。因此，这句话一定是错的。

苏格拉底悖论

苏格拉底悖论来自于自指句。

死循环：

下面的句子是错误的。

上面的句子是正确的。

如果下面的句子是错误的，那么上面的句子也是错误的。那么下面的句子就是正确的，那么上面的句子就是正确的......就这样陷入了死循环!

唐·吉诃德悖论

唐吉诃德悖论是指记载在唐吉诃德小说中的一个涉及悖论的故事。

桑丘·潘萨在他治理的岛上颁布一条法例，规定过桥的旅客必需诚实地表示自己的目的，否则就要接受绞刑。有一个旅客在见到桥上的告示后，宣称自己过桥是要接受绞刑的。

这使执法者感到为难：如果旅客的言论为真，则他应被释放并不得受绞刑，但如此一来旅客言论即变为假。如其言论为假，则他会被绞死，但如此一来其言论即变为真。该旅客被带到桑丘面前，而桑丘最后把他释放。

布雷斯悖论

在一个交通网络上增加一条路段反而使网络上的旅行时间(traveltime)增加了，而且是所有出行者的旅行时间都增加了，这一附加路段不但没有减少交通延滞，反而降低了整个交通网络的服务水准(levelofservice)，这种出力不讨好且与人们直观感受相背的交通网络现象就是人们所说的Braess悖论现象。

“理发师悖论”悖论内容

一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”那么理发师是否给自己刮脸呢?如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸(因为他'只'帮不自己刮脸的人刮脸);如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸(因为是'所有'不自己刮脸的人，包含了理发师本人)，于是矛盾出现了。

罗素悖论

我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设命题函数P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x∉x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立?首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A∉A;其次，若A∉A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

物理学悖论

1.命定悖论

命定悖论或命运悖论(Predestinationparadox，命运注定的悖论)，又称因果循环(Causalloop或Causalityloop，与佛教的业德去返无关)，是科幻作品中与时间旅行有关的悖论。

此悖论大致与祖父悖论相反：

如果自己返回过去，将自己的祖父杀死，那么自己的父母就会不曾出现过，随之而言就连自己的存在也消失，把自己从(这个平行宇宙分支的)时间洪流中“消去”。

命定悖论是其中一个去解释“为何历史事实不被时间旅行中所作出的改变而受影响”的方法，就是：

改变历史的做法，不论企图与否，最终都会引致历史所“命定”的结果，而并非作出之外的改变。

诺维科夫自洽性原则提出，只有事件属前后一致的因果循环才能出现，矛盾的则不能。

例子：

“命中注定”的例子：

A君回到过去调查一场有名火灾事故的起因。本来火灾不会发生，不过A君回到该段时间，在未发生火灾时的现场，碰跌了一个火水灯，导致火灾。A君回到过去调查一场有名火灾事故，却成为火灾的起因。

2.祖父悖论

祖父悖论是一种时间旅行的悖论，科幻故事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内·巴赫札维勒(RenéBarjavel)在他1943年的小说《不小心的旅游者》(LeVoyageurImprudent)中提出。情景如下：

假设某人回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死;因为某人祖父母死了，就不会有某人的父亲;没有了某人的父亲，某人就不会出生;于是矛盾出现了。

物理中的祖父悖论：

平行宇宙

物理学家认为，也许世界是由无数个平行宇宙组成的，而当某人回到过去杀你的祖父母时，此人杀的其实是另一个宇宙的人(或者你的这个举动也可以创造一个新的平行宇宙)，而此人的“祖父”或“祖母”的死只会使那个平行宇宙的此人不再存在，而这个平行宇宙的此人则平安无事。

1.在量子物理中，“多个世界”理论可以如此理解：对于每一个似乎随机的事件来说，只要它的可能性不是零，它所有可能的情形都会在不同的平行世界中发生，造成历史的分支。物理学家大卫·多伊奇(DavidDeutsch)认为，当你回到过去去杀你的祖父母时，你其实进入了另一个世界，杀的是另一个世界的人。(那个世界与你的世界的差别仅在于你祖父母死了)

2.M理论，作为至今最有可能结合5种不同的弦论的理论，是如此解释平行宇宙的：多个三维的“膜”可以同时在一个四维的宇宙(不是爱因斯坦的三维空间加一维时间;见膜宇宙学)中存在;这些膜之间的撞击会在膜中产生大量的能量——这也可以解释大爆炸是如何起源的。可是，M理论并不能解释不同膜的历史之间的关系，也不能肯定，当你回到过去时，你会进到另一个膜里面。

3.薛定谔的猫

薛定谔的猫(英语：ErwinSchrodinger'sCat)是奥地利物理学家埃尔温·薛定谔试图证明量子力学在宏观条件下的不完备性而提出的一个思想实验。实验内容如下：

把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个包含一个放射性原子核和一个装有有毒气体的容器的实验装置。设想这个放射性原子核在一个小时内有50%的可能性发生衰变。如果发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，从而杀死这只猫。根据量子力学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，但是，如果在一个小时后把盒子打开，实验者只能看到“衰变的原子核和死猫”或者“未衰变的原子核和活猫”两种情况。

现在的问题是：这个系统从什么时候开始不再处于两种不同状态的叠加态而成为其中的一种?在打开盒子观察以前，这只猫是死了还是活着抑或半死半活?这个实验的原意是想说明，如果不能对波函数塌缩以及对这只猫所处的状态给出一个合理解释的话，量子力学本身是不完备的。

(内容太长了，感兴趣自行在搜索资料吧)

4.爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论

爱因斯坦-波多斯基-罗森悖论是由阿尔伯特·爱因斯坦、玻理斯·波多斯基和纳森·罗森在1935年发表于《物理评论》杂志的论文所揭示的悖论。其简称爱波罗悖论以提出此悖论的三人姓氏第一字为根据，另有EPR论证、EPR诡论、EPR佯谬和EPR悖论等名称。

此悖论是对于量子力学的正统诠释——哥本哈根诠释提出反驳的一个思想实验，对于物理量的观测值以及物理学理论可以解释的值长久以来的观念做出挑战。此悖论引起众人对量子缠结现象的兴趣，并且引出了约翰·贝尔于1964年对于哥本哈根诠释与EPR悖论纷争所提出的厘清对错方案——贝尔不等式。

EPR实验产生了一种二分法的结果，要不

1.对于一量子系统之A部份的进行测量的结果，对于在另一遥远处的B部份的物理实体(physicalreality)有非局域性的效应;量子力学可以预测以后在B部分做一些测量会得到什么样的结果。不然就是

2.量子力学是不完备的：跟B相应的某些物理实体要素无法由量子力学来解释(亦即：需要额外的变量来解释。)

虽然原先是以思考实验形式出现，目的在于展示量子力学的不完备性，然而尔后真实的实验结果却驳倒所谓的局域原理，使得爱、波、罗三人的原先目的失效。困扰爱、波、罗三位论文作者的“鬼魅般的超距作用”('spookyactionatadistance')在为数众多的可再现实验中一再地出现。爱因斯坦到过世前都没有接受量子力学是一个“真实”而完备的理论，一直尝试着想要找到一种诠释可以与相对论相容，且不会暗指“掷骰子的上帝”，这可以从他对量子力学内禀的随机性以及与直观相违有所不满上头观察得到。

5.法拉第吊诡

法拉第吊诡(Faradayparadox)是一个关于法拉第感应定律的物理实验。于1831年，物理学大师麦可·法拉第推断出法拉第感应定律(简称“法拉第定律”)，但是，在应用这定律来解释法拉第吊诡的过程中，他遇到了很多困难。这在本文会有详细相关叙述。

实验组态

如上图所示，法拉第吊诡实验只需要一些简单器件：圆柱形永久磁铁、圆盘形导体、金属刷、转轴导体、支撑架导体，检流计。圆柱形永久磁铁与圆盘形导体分别安装于各自的转轴，可以各自自由旋转。将安装于支撑架一端的金属刷与圆盘边缘相接触，又将与圆盘相连接的转轴安装于支撑架另一端，就可以形成完整闭合电路。在这闭合电路中，串联一个检流计来测量电流。

实验程序

这实验的进行有三个步骤：

1.假设磁铁为固定不动，不能旋转，只让圆盘旋转，则检流计会测量到直流。这实验设备的功能类似电动机，因此称为“法拉第电动机”、又称为法拉第圆盘(Faradaydisc)、或单极发电机(homopolargenerator)。

2.假设圆盘为固定不动，不能旋转，只让磁铁旋转，则检流计不会测量到直流。

3.假设让圆盘与磁铁以同角速度旋转，则检流计会测量到直流，如同第一步骤得到的结果。

透过铁粉显示出的磁场线。将条状磁铁放在白纸下面，铺洒一堆铁粉在白纸上面，这些铁粉会依著磁场线的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点显示出磁场线的方向

为什么吊诡?

有些物理学者称这实验为吊诡，因为，猛然一看，这实验似乎违背了法拉第定律，不论是什么部分在旋转，穿过圆盘的磁通量好像都一样，所以，从磁通量观点来看，对于这三个案例，电动势都应该预测为零。这观点错误地选择了用来计算磁通量的曲面，对于这论点，稍后会有更详细解释。

从磁场线观点来看，这吊诡又有不同的理论结果。在法拉第的电磁感应模型里，磁场是由想像的磁场线组成。若将条状磁铁放在白纸下面，铺洒一堆铁粉在白纸上面，这些铁粉会依著磁场线的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点显示出磁场线的方向。假若电动势与磁场线被电路切割的速率呈正比，则从磁铁的参考系观测，磁场线为固定不动。所以，相对于磁铁，将圆盘旋转，或相对于圆盘，将磁铁旋转，这两种动作应该都会生成电动势，但是若将磁铁与圆盘一同旋转，则电动势为零。

法拉第的解释

在法拉第的“电磁感应模型”里，当闭合电路切割过磁场线时，会有感应电流生成于这闭合电路。按照这模型，当圆盘旋转或磁铁旋转时，应该会有感应电流流动于法拉第圆盘，而当磁铁与圆盘一同旋转时，应该不会出现感应电流。然而，这结果与实验结果迥然不同。法拉第试图解释这差异，他假定当磁铁旋转时，磁铁的整个磁场于其伴随的磁场线固定不动(注意到这是一个完全正确的绘景，虽然也许不太容易从电磁感应模型推理出来)。换句话说，磁场线的参考系与磁铁的参考系不同。在下一个段落，会有详细论述，现代物理学(自从发现电子之后)不需要电磁感应模型，就能够完全解释这吊诡。

概率论悖论

1.辛普森悖论

当人们尝试探究两种变量是否具有相关性的时候，比如新生录取率与性别，报酬与性别等，会分别对之进行分组研究。辛普森悖论是在这种研究中，在某些前提下有时会产生的一种现象。即在分组比较中都占优势的一方，会在总评中反而是失势的一方。该现象于20世纪初就有人讨论，但一直到1951年E.H.辛普森在他发表的论文中，该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名该悖论。

2.生日悖论

生日问题

生日问题是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

对此悖论的解释

我们可以把生日悖论理解成一个盲射打靶的问题。对于一个23人的房间，先考虑问题的补集：23人生日两两不同的概率是多少?为此，我们可以让23个人依次进入，那么每个人生日都与其他人不同的概率依次是1,364/365,363/365,362/365,361/365,等等。先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是...345/365,344/365,343/365。我们可以把这种概率看成对一张靶的盲射：靶上有365个小格，其中有17个左右是黑格，其余是白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，那么连续射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率(投射于房间里的人生日都两两不同)是多少呢?想必大家立即会感觉到这个概率并非微小。

因此，理解生日悖论的关键，在于考虑上述“依次进入房间”模型中最后几个进入房间的人“全部都没碰到相同生日的人”概率有多大这件事情。